Cálculo infinitesimal

1. NÚMEROS REALES. TOPOLOGÍA EN R.
• Campos numéricos.
• El cuerpo de los números reales.
• Intervalos, conjuntos abiertos y cerrados, conjuntos acotados, entornos, puntos de acumulación.
• Valor absoluto. Métrica en R.
2. NÚMEROS COMPLEJOS. GEOMETRÍA EN R2.
• Definiciones. Forma cartesiana y binómica.
• El cuerpo no ordenado de los números complejos.
• Conjugado, módulo y argumento. Propiedades.
• Forma polar y cartesiana.
• Operaciones con números complejos.
• Geometría del plano. Topología en R2
3. SUCESIONES NUMÉRICAS.
• Concepto de sucesión.
• Sucesiones acotadas y monótonas. Comparación de sucesiones. Operaciones.
• Límite de sucesiones. Sucesiones de Cauchy. Sucesiones convergentes.
• Sucesiones divergentes. Operaciones con sucesiones convergentes y divergentes. Indeterminaciones.
• Criterio del cociente.
4. SERIES NUMÉRICAS.
• Definición. Convergencia y divergencia. Condición necesaria de convergencia.
• Divergencia de la serie armónica.
• Suma de algunas series. Series geométricas, series aritmético geométricas, series telescópicas.
• Series de términos no negativos: criterio de comparación, criterio de la raíz y del cociente.
• Serie armónica generalizada.
• Series alternadas. Criterio de Leibnitz.
• Convergencia absoluta y condicional.
5. FUNCIONES REALES.
• Definición de función real de variable real.
• Operaciones con funciones. Composición de funciones. Función inversa.
• Repaso de funciones elementales.
• Función exponencial compleja. Propiedades.
6. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES.
• Definición de límite de una función en un punto.
• Límites laterales.
• Propiedades. Unicidad del límite.
• Continuidad de una función real de variable real. Tipos de discontinuidades.
• Teorema del valor intermedio. Teorema de Bolzano. Teorema de acotación; extremos absolutos.
• Aplicación a la representación de funciones. Asíntotas.
7. DERIVACIÓN DE FUNCIONES.
• Definición de derivada en un punto. Significado geométrico.
• Función derivable. Función derivada. Propiedades.
• Reglas para el cálculo de derivadas.
• Derivadas de orden superior.
8. APLICACIONES DE LA DERIVADA. GRÁFICAS DE FUNCIONES.
• Teoremas de Rolle, de Lagrange y de Cauchy.
• Regla de L´Hôpital.
• Máximos y mínimos relativos. Condiciones necesarias. Condiciones suficientes.
• Concavidad y convexidad. Punto de inflexión. Condiciones necesarias y suficientes.
• Representación de funciones.
9. APROXIMACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE POLINOMIOS. TEOREMA DE TAYLOR.
• Polinomio de Taylor.
• Teorema de Taylor. Fórmula del Resto de Lagrange.
• Error cometido al aproximar una función por un polinomio.
• Aplicaciones.
10. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLO EN SERIE DE FUNCIONES.
• Definición. Radio de convergencia. Propiedades de series de potencias convergentes.
• Serie de Taylor asociada a una función. Teorema.
• Desarrollos en serie de algunas funciones importantes.
11. CONCEPTO DE INTEGRAL. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.
• Concepto de integral de Riemann. Propiedades.
• Integración y diferenciación. Teorema Fundamental de Cálculo.
• Teorema del cambio de variable.
• Concepto de integral indefinida. Definición de primitiva.
• Métodos de integración: integrales inmediatas; integración por partes; integración de funciones racionales, método de Hermite; integrales irracionales.
12.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL. INTEGRALES IMPROPIAS.
• Aplicación al cálculo de áreas, longitudes, volúmenes y áreas de sólidos de revolución.
• Integrales impropias.
• Teorema del valor medio para funciones integrables.
• Otras aplicaciones: Criterio integral para la convergencia de series numéricas; aproximación numérica de integrales por Taylor; integración de series de potencias convergentes.
13.- ESPACIOS MÉTRICOS. TOPOLOGÍA EN RN. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. LÍMITE Y CONTINUIDAD
• Espacio vectorial Rn, distancia en Rn, clasificación topológica de puntos y conjuntos en Rn.
• Noción de función vectorial de varias variables. Funciones componentes.
• Curvas de nivel, curvas coordenadas. Gráficas.
• Límites y continuidad.
14.- CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
• Definición de derivada parcial. Matriz Jacobiana.
• Derivadas parciales de órdenes superiores. Teorema de Schwartz.
• Concepto de diferencial y gradiente.
• Regla de la cadena.
• Derivadas direccionales. Propiedades del gradiente.
• Polinomio de Taylor para funciones de varias variables.
• Función implícita. Función inversa. Derivación implícita.
15.- EXTREMOS RELATIVOS Y CONDICIONADOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
• Extremos relativos. Condición necesaria. Puntos críticos.
• Matriz Hessiana. Condiciones suficientes.
• Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.
• Extremos absolutos en conjuntos compactos.
12. CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
• Planteamiento como cálculo de volúmenes.
• Integrales dobles sobre un rectángulo.
• Integrales dobles sobre regiones más generales. Teorema de Fubini.
• Cambio de variable.
• Cálculo de áreas planas a partir de la integral doble.
• Integrales múltiples. Cambio de variable en integrales múltiples.

BIBLIOGRAFÍA

• GARCÍA, ALFONSA Y OTROS."Cálculo I. Teoría y problemas de análisismatemático en una variable".
• GARCÍA CASTRO Y GUTIÉRREZ GÓMEZ."Cálculo Infinitesimal-1".Tomos 1y 2. Ed. Pirámide.
• LARSON-HOSTETLER."Cálculo y geometría analítica". Ed. Mc. Graw Hill.
• SALAS-HILLE."Cálculo de una y varias variables con geometría analítica". Ed. Reverté.
• SPIVACK."Cálculo Infinitesimal". Ed. Reverté.
• STEIN."Cálculo y geometría analítica". Ed. Mc. Graw Hill.
• TOMEO UÑA, SAN MARTÍN. "Problemas resueltos de cálculo en una variable". Ed. Thomson-Paraninifo. Madrid 2005.
• ZILL."Cálculo con geometría analítica". Grupo Editorial Iberoamericana.