Estadística matemática

ESTADÍSTICA MATEMÁTICA

I.Variable aleatoria bidimensional y n-dimensional.

1. Variable aleatoria n-dimensional. Función de distribución.
• álgebra de Borel en .
• Variable aleatoria bidimensional.
• Función de distribución conjunta. Propiedades.
• Variable aleatoria bidimensional discreta. Función de masa.
• Variable aleatoria continua y absolutamente continua. Función de densidad.
• Distribuciones marginales.
• Distribuciones condicionadas.
• Variables aleatorias independientes.
• Cambios de variable.
2. Características de las variables aleatorias n-dimensionales.
• Vector de esperanzas de una variable aleatoria bidimensional.
• Esperanza matemática de funciones de una variable aleatoria bidimensional. Propiedades.
• Momentos respecto al origen y respecto a la media. Covarianza y matriz de covarianzas.
• Función característica de una variable aleatoria bidimensional. Reproductividad.
• Generalización a variables aleatorias n-dimensionales.
3. Regresión y correlación bidimensional
• Planteamiento del problema.
• Rectas de regresión.
• Coeficiente de correlación. Propiedades.
• Curvas de regresión.
• Razón de correlación. Propiedades.
4. Principales distribuciones n-dimensionales. Distribuciones asociadas a la Normal.
• Distribución Multinomial.
• Distribución Normal bidimensional.
• Distribución Normal n-dimensional.
• Distribuciones asociadas a la Normal: TStudent, FSnedecor.

II.Sucesiones de variables aleatorias.

1. Convergencia de sucesiones de variables aleatorias. Teoremas límite.
• Sucesiones de variables aleatorias.
• Tipos de convergencia. Relaciones entre los tipos de convergencia.
• Leyes de los grandes números.
• Teorema Central del Límite.

III.Introducción a la Inferencia Estadística.

1. Estadísticos muestrales.
• Modelo estadístico: modelo paramétrico y no paramétrico.
• Muestra aleatoria simple. Estadísticos muestrales.
• Distribución empírica de la muestra. Momentos muestrales y sus características.
• Comportamiento asintótico de los momentos muestrales.
• Estadísticos de orden.

IV.Estimación puntual paramétrica.

1. Estimadores y sus propiedades.
• Definición de estimador. Propiedades.
• Error cuadrático medio. Estimador insesgado uniformemente de mínima varianza (ECUMV).
• Métodos de obtención de estimadores.
• Método de los Momentos
• Método de Máxima Verosimilitud.
• -Método de obtención de estimadores centrados uniformemente de mínima varianza: Teorema de Rao-Blackwell y Teorema de Lehmann-Sheffé.
• Cota de Fréchet-Cramer-Rao. Consecuencias. Estimadores eficientes

V.Estimación mediante regiones de confianza y contrastes de hipótesis paramétricos.

1. Muestreo en poblaciones Normales.
• Distribución de la media muestral.
• Distribución de la varianza muestral. Teorema de Fisher.
• Distribución del estadístico de Student.
• Distribución del estadístico diferencia de medias.
• Distribución del estadístico cociente de varianzas.
• Distribución del coeficiente de correlación lineal muestral.
2. Estimación por intervalos de confianza.
• Conceptos fundamentales.
• Métodos de construcción de intervalos de confianza:
• Método de Neyman.
• Método de la cantidad pivotal.
• Intervalos de confianza en poblaciones Normales.
• Intervalos de confianza para muestras grandes.
3. Contrastes de hipótesis.
• Conceptos fundamentales: tipos de error, nivel de significación, p-valor, función de potencia, contrastes unilaterales y bilaterales.
• Lema de Neyman-Pearson.
• Contrastes uniformemente más potentes e insesgados.
• Contraste de la razón de verosimilitudes.
• Dualidad entre intervalo de confianza y contraste de hipótesis.
4. Método de la razón de verosimilitudes: aplicación a poblaciones Normales.
• Contrastes de la razón de verosimilitudes.
• Distribución asintótica del cociente de verosimilitudes.
• Aplicación a poblaciones Normales.
• Contrastes relativos a la media.
• Contrastes relativos a la varianza.
• Contrastes relativos a la diferencia de medias.
• Contrastes relativos al cociente de varianzas.
• Contrastes más utilizados en muestras grandes.

VI.Inferencia no paramétrica.

1. Introducción a la inferencia no paramétrica.
• Métodos estadísticos no paramétricos: conceptos y utilización.
• Comparación con los métodos paramétricos.
2. Contrastes de bondad de ajuste.
• Introducción.
• Métodos gráficos.
• Test de la de bondad de ajuste.
• Test de Kolmogorov Smirnov .
• Contrastes de Normalidad:
• Test de Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors.
• Test de Shapiro y Wilk.
• Tests basados en los coeficientes de asimetría y aplastamiento.
3. Contrastes de independencia.
• Introducción.
• Contrastes de aleatoriedad: tests de rachas.
• Contrastes de independencia en muestras pareadas.
• Tests de Kendall y de Spearman
• Test de independencia.
• Contrastes para K muestras relacionadas.
• Coeficiente de concordancia de Kendall.
• Generalización del test .
4. Contrastes de posición y homogeneidad
• Introducción.
• Contrastes de posición.
• Para una muestra y muestras pareadas: Tests de los signos y los rangos signados.
• Para dos muestras independientes: Tests de Wilcoxon Mann-Whitney y de la Mediana.
• Para K muestras independientes: Test de Kruskal-Wallis.
• Para K muestras relacionadas: Test de Friedman.
• Contrastes de homogeneidad.
• Test de Wald-Wolfowitz.
• Test de KolmogorovSmirnov.
• Test de homogeneidad.

VII.Inferencia Bayesiana.

1. Introducción a la Inferencia Bayesiana.
• Planteamiento del problema.
• Estimación Bayesiana.
• Método Bayes para intervalos de confianza.
• Procedimiento de contraste Bayes.

 

Bibliografía

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