Introduccion a la teoria de cuerpos y la teoría de Galois

Ser capaces de aprender los conceptos básicos de la teoría de cuerpos y de la teoría de Galois.

1. Polinomios en varias variables. Las funciones simétricas elementales. Fórmulas de Cardano. Polinomios simétricos: teorema fundamental. Resultante y discriminante. 

2. Extensiones de cuerpos. Extensiones algebraicas y trascendentes. Cuerpo de descomposición; existencia y unicidad. Teorema del elemento primitivo. 

3. Cuerpos finitos: elementos primitivos. El cuerpo de p^n elementos esta formado por las raíces del polinomio t^{p^n}-t. 

4. Grupo de Galois de una extension finita. Las extensiones de Galois son los cuerpos de descomposición. Teorema fundamental de la teoría de Galois. 

5. Grupos resolubles y extensiones radicales. Teorema de Abel-Galois: Un polinomio es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois es resoluble. 

6. Grupo de Galois de los polinomios t^n-a, de los polinomios ciclotómicos y de los polinomios de grado 2, 3 y 4. El problema inverso: el grupo simétrico S_p y los grupos cíclicos finitos como grupos de Galois sobre Q. La ecuación general de grado n.